第22屆足球世界杯已落下帷幕，這(This)一(One)屆世界杯最大(Big)的(Of)赢家是阿根廷，是梅西，更是億萬期盼梅西封神的(Of)球迷。将近一(One)個(Indivual)月的(Of)比賽跌宕起伏、精彩紛呈。球賽開始前和(And)比賽期間，預測結果更是成爲(For)球迷們的(Of)最大(Big)興趣。世界上的(Of)各大(Big)媒體，電視台，也紛紛加入到(Arrive)預測中來(Come)。我(I)雖然算不(No)上一(One)個(Indivual)具有專業水準的(Of)球迷，但也禁不(No)住周邊朋友們熱鬧場面的(Of)誘惑，對多場比賽結果進行預測。

        預測的(Of)最大(Big)樂趣是增加了看球的(Of)樂趣，本來(Come)是一(One)場與自己無關的(Of)比賽，因爲(For)有了預測，就特别期望自己預測正确。而且一(One)旦結果與預測一(One)緻，那種成功的(Of)喜悅，很難用(Use)語言來(Come)形容。

        預測足球比賽結果是一(One)門技術活，首先要(Want)對球隊有比較深入的(Of)了解，包括球員構成、綜合能力、曆史戰績、世界排名、當家球星、球員狀态、對手情況等，了解越多，預測似乎就越準确。但實際情況往往出(Out)乎意料甚至大(Big)相徑庭。以(By)牛津大(Big)學預測爲(For)例，他(He)們用(Use)自己的(Of)數學模型計算出(Out)來(Come)的(Of)預測結果如圖1所示。

圖1 牛津大(Big)學給出(Out)的(Of)預測模型

        從圖1可以(By)看出(Out)，盡管引入了非常複雜的(Of)數學計算，并對各隊的(Of)曆史數據，交戰結果做了詳細的(Of)分析，但預測結果卻不(No)盡人(People)意。小組賽也就有一(One)半預測對了勝負，其中進入決賽的(Of)兩支隊伍都錯了。其他(He)很多預測機構也大(Big)緻相同。

        其實，影響比賽結果的(Of)因素很多，球隊實力固然非常重要(Want)，但進入32強的(Of)球隊大(Big)部分實力都不(No)弱，尤其是進入淘汰賽階段更是如此。這(This)時(Hour)候，球隊的(Of)戰術安排，球員臨場狀态、取勝欲望、團隊配合等方面就顯得尤爲(For)重要(Want)。此外，運氣也是比賽的(Of)一(One)部分，并且往往成爲(For)左右比賽結果的(Of)非常重要(Want)的(Of)因素。

        足球比賽既考驗雙方的(Of)能力，也是對雙方隊員面對面比拼時(Hour)心理素質的(Of)檢驗。盡管結果不(No)可預知，但其中卻蘊含有嚴謹的(Of)數學原理。今天我(I)們就談談這(This)個(Indivual)問題。

        大(Big)家知道，概率論是解決我(I)們日常生(Born)活很多問題的(Of)重要(Want)數學理論。越來(Come)越多的(Of)足球預測，都是以(By)概率論作(Do)爲(For)基礎進行的(Of)。上述牛津大(Big)學的(Of)預測也是基于(At)概率論的(Of)。但概率論如何運用(Use)，卻是有很多講究。

        一(One)般來(Come)說，在(Exist)一(One)個(Indivual)非受限空間，一(One)個(Indivual)獨立事件發生(Born)的(Of)概率總是符合正态分布的(Of)。其定義是：若随機變量X服從一(One)個(Indivual)位置參數爲(For)μ、尺度參數爲(For)σ 的(Of)概率分布，且其概率密度函數爲(For)：

        則這(This)個(Indivual)随機變量就稱爲(For)正态随機變量，正态随機變量服從的(Of)分布就稱爲(For)正态分布，記作(Do)X~N（μ，σ2），讀作(Do)X服從N（μ，σ2），或X服從正态分布。圖2是正态分布分布密度函數曲線圖。

圖2 正态分布函數曲線（來(Come)源于(At)網絡）

        當實際發生(Born)概率很小時(Hour)，我(I)們稱其爲(For)小概率事件，從标準概率分布圖中可以(By)看出(Out)，位于(At)區間（-3σ，3σ）以(By)外的(Of)概率小于(At)0.2%。所以(By)，在(Exist)很多場合下，就不(No)予考慮。比如，我(I)們在(Exist)物流系統中采用(Use)稱重法來(Come)檢驗圖書揀選的(Of)準确性時(Hour)，就是選取了這(This)一(One)标準。在(Exist)很多工業場合，标準會進一(One)步提高，比如我(I)們常說的(Of)6σ檢驗标準，就要(Want)求達到(Arrive)（-4.5σ，4.5σ）範圍，其精确度将達到(Arrive)3.44ppm（即百萬分之三點四四）。

        再回過頭來(Come)看世界杯。如何運用(Use)數學原理進行比賽的(Of)預測呢？這(This)是一(One)個(Indivual)比較複雜的(Of)問題。如果單就一(One)場球來(Come)看，其實就是實力對比說了算，作(Do)爲(For)一(One)個(Indivual)獨立事件，沒有參考數據，很難做出(Out)準确預測。比如德國(Country)對日本，一(One)般情況下，大(Big)家預測都認爲(For)日本會輸。但是要(Want)進一(One)步定義輸的(Of)概率和(And)輸的(Of)比分，就比較複雜了。這(This)就牽涉到(Arrive)一(One)個(Indivual)概率問題。比如說德國(Country)輸的(Of)概率，其實我(I)們可以(By)讓他(He)們踢1000場球，看看比分會如何分布，這(This)樣結果就出(Out)來(Come)了。但實際上做不(No)到(Arrive)。因爲(For)即使集中踢1000場，這(This)個(Indivual)結果也是有問題的(Of)，它與我(I)們擲1000次硬币的(Of)情況有很大(Big)不(No)同。因爲(For)比賽受到(Arrive)人(People)爲(For)的(Of)幹擾。其結果與自然發生(Born)的(Of)有出(Out)入。而實際上，集中踢1000場在(Exist)時(Hour)間上也沒有可能。所以(By)，我(I)們在(Exist)預測一(One)場球時(Hour)，就顯得很困難，事實上因爲(For)事件的(Of)随機性而變得無法預測。如果我(I)們假設德國(Country)和(And)日本踢1000場球的(Of)結果是600勝，300平，100負，這(This)一(One)結果對指導預測其實幫助不(No)大(Big)，但如果聯系到(Arrive)曆史的(Of)比賽，我(I)們還是會做出(Out)比較可信的(Of)預測。另一(One)方面，我(I)們把一(One)場球放到(Arrive)一(One)個(Indivual)系統中看，将會又是一(One)番景象。比如我(I)們将德國(Country)對日本比賽放到(Arrive)一(One)個(Indivual)大(Big)的(Of)空間，如世界杯大(Big)賽這(This)個(Indivual)環境看，德國(Country)屬于(At)第一(One)梯隊，日本屬于(At)第三梯隊，這(This)樣看的(Of)樣本空間就大(Big)得多。因爲(For)有大(Big)量的(Of)第一(One)梯隊與第三梯隊比賽的(Of)樣本可供參考。我(I)們可以(By)從這(This)些曆史樣本中得出(Out)一(One)些有用(Use)的(Of)結論，如雙方曆史上的(Of)勝率，本屆已經完成的(Of)比賽的(Of)情況等，從而指導預測的(Of)結果。

        在(Exist)小組賽期間，我(I)們知道，每個(Indivual)小組内的(Of)強弱還是比較分明的(Of)。這(This)樣大(Big)家的(Of)預測總體來(Come)說準确性要(Want)高一(One)些，這(This)是我(I)們應用(Use)概率論的(Of)基礎。但另一(One)方面，我(I)們也要(Want)看到(Arrive)，比賽結果還是有一(One)定比例的(Of)場次出(Out)乎大(Big)家的(Of)意料之外。比如亞洲球隊的(Of)爆發，日本連勝德國(Country)和(And)西班牙，使得德國(Country)最終小組未能出(Out)線。開始時(Hour)，很多中國(Country)球迷擔心亞太區球隊會被剃光頭，但事實上，不(No)僅有3支球隊（含澳大(Big)利亞）順利出(Out)線，而且每支球隊都有上佳表現。對此，我(I)開始就大(Big)膽提出(Out)兩個(Indivual)假設：第一(One)是亞洲球隊必定會有球隊進入第二輪；第二是比賽必定會有冷門産生(Born)。通過對各小組進行分析，首先把出(Out)線的(Of)球隊寄托在(Exist)日本、韓國(Country)身上，并将日本對德國(Country)、韓國(Country)對西班牙、沙特對阿根廷三場比賽定義爲(For)最容易爆冷的(Of)比賽。其中之所以(By)定義沙特對阿根廷會爆冷，則基于(At)阿根廷是奪冠大(Big)熱門的(Of)假設，并且其此前已經35場不(No)敗的(Of)記錄，已經平了世界紀錄。概率論的(Of)理念就是：阿根廷即使要(Want)破世界紀錄，也隻會破一(One)點點（小概率事件），也就  是說最多再赢1~2場；阿根廷要(Want)想奪冠，就不(No)能在(Exist)淘汰賽輸球，小組賽輸球是其唯一(One)機會。因此，其輸給沙特的(Of)理由最充分（第一(One)場可能性最大(Big)）。比賽的(Of)結果印證了這(This)一(One)猜想。

        到(Arrive)了淘汰賽階段，大(Big)家對預測英國(Country)和(And)法國(Country)比賽産生(Born)分歧。認爲(For)兩隊水平相當，英國(Country)更勝一(One)籌。但實際過程看，是英國(Country)幾乎沒有希望。但既然是預測，邏輯上要(Want)有一(One)緻性才行。很多機構預測法國(Country)和(And)巴西争奪冠軍，這(This)是有一(One)定道理的(Of)，事實上要(Want)做到(Arrive)這(This)一(One)點，兩隊在(Exist)淘汰賽中，它幾乎就不(No)可能會輸。要(Want)怎麽樣才會輸呢？需要(Want)爆冷才會輸。我(I)們知道，在(Exist)世界杯上，爆冷是有其必然性的(Of)。從曆史數據看，總會有一(One)定比例的(Of)比賽會爆冷，有些還是大(Big)冷門，這(This)就不(No)是小概率事件了。法國(Country)輸給英國(Country)根本就不(No)算冷門，法國(Country)隻有輸給像澳大(Big)利亞這(This)樣的(Of)隊伍才是大(Big)冷門。另一(One)邊就不(No)同了，巴西對克羅地亞，結果是巴西爆冷出(Out)局；西班牙對摩洛哥，同樣是西班牙爆冷出(Out)局；到(Arrive)了葡萄牙對摩洛哥，其實已經不(No)是爆冷了，葡萄牙隊内出(Out)現嚴重問題，才使得摩洛哥一(One)舉擊敗葡萄牙，挺進4強。

        其實，後面的(Of)4場比賽，結果早就失去懸念。盡管他(He)們的(Of)能力差異在(Exist)毫厘之間，但再爆冷的(Of)幾率已經很低了。其一(One)是克羅地亞和(And)法國(Country)進入決賽，這(This)幾乎是不(No)可能的(Of)結果，因爲(For)這(This)種重複上屆比賽結果的(Of)可能性微乎其微，曆史上隻有一(One)次，而且克羅地亞水平本來(Come)就有限，打敗巴西，進入4強已經是超水平發揮。其二是梅西封王衆望所歸，4次沖擊冠軍，無果而終，本屆比賽，将是梅西最後的(Of)機會。梅西占盡了天時(Hour)地利人(People)和(And)。人(People)們無法想象沒有獲得世界杯的(Of)梅西，會如何與其球王身份相匹配。第三是法國(Country)衛冕也是難上加難。試問，世界上除了巴西衛冕成功過一(One)次外，還有誰能獲得這(This)份殊榮？以(By)法國(Country)足球的(Of)底蘊，根本不(No)可能達到(Arrive)這(This)一(One)高度。

        所以(By)，同樣是概率論的(Of)應用(Use)，在(Exist)臨場操作(Do)時(Hour)應該從多方面考慮，而不(No)能僅僅局限于(At)一(One)個(Indivual)維度。比如，預測決賽會不(No)會出(Out)現帽子戲法這(This)一(One)事件，有幾個(Indivual)因素支持這(This)一(One)預測，第一(One)是全部21屆比賽，居然出(Out)現了52個(Indivual)帽子戲法，平均每屆2.47個(Indivual)，本屆比賽還隻有1個(Indivual)，這(This)是不(No)正常的(Of)；第二，從決賽的(Of)氛圍來(Come)看，從兩隊的(Of)風格來(Come)看，從球星的(Of)能力和(And)機會看，完全是有可能的(Of)，并且可能是大(Big)概率事件。

        世界上的(Of)事情，往往都包含有一(One)定的(Of)數學原理，被數學原理所制約。但即使如此，由于(At)未來(Come)的(Of)不(No)确定性仍然使得預測不(No)可能百分之百準确，預測歸根到(Arrive)底是一(One)種猜測，它不(No)代表結果的(Of)确定性。我(I)們知道，再小的(Of)概率也是可能發生(Born)的(Of)，但如果我(I)們明白背後的(Of)邏輯，将會使得猜測準确性更高。足球比賽尤其如此。因爲(For)，每場比賽雖然時(Hour)間很長，但進攻到(Arrive)禁區并且獲得得分的(Of)機會卻不(No)多。所謂的(Of)偶然性就成爲(For)左右比賽結果的(Of)重要(Want)因素。強隊如果沒有抓住機會，反而被弱隊抓住寶貴的(Of)機會，結果就會逆轉，這(This)也是足球最具有魅力的(Of)地方。當然，強弱如果是一(One)邊倒的(Of)情況，所謂的(Of)偶然性基本是不(No)可能發生(Born)的(Of)。

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